A hipótese de Riemann

Hoje, nas minhas andanças pela web, descobri que hoje se comemoram os 150 anos da Hipótese de Riemann! Ela foi formulada pela primeira vez em 1859, em novembro, mas ninguém sabe a data exata. Então, o American Institute of Mathematics tradicionalmente pega o “meio” de novembro, para marcar a ocasião.

Eu não quis deixar essa data passar em branco, justamente porque teve uma época em que fiquei fascinada pelo problema (e pensei seriamente em seguir carreira matemática só para resolver o problema). Então, vou reaproveitar um texto do meu antigo blog e reproduzí-lo abaixo. Divirtam-se! 🙂

O livro “A música dos números primos”, do autor Marcus du Sautoy, é bem saboroso para quem gosta de matemática. Conta a saga da hipótese de Riemann e seus números primos, desde sua formulação inicial por Riemann até os dias atuais (na verdade também conta um pouco sobre os primeiros povos que descobriram as propriedades interessantes desses números).

Os números primos são, de fato, os bichos mais interessantes da fauna matemática. As partículas elementares da matemática, pois são indivisíveis, e compõem o resto dos números inteiros. E sua característica mais peculiar é o fato de que não tem como, pelo menos até o momento, prever o próximo número da sequência. Desde a Antiguidade até os dias atuais, os matemáticos têm lidado com a tarefa de tentar prever o próximo número primo. Será que a Natureza joga dados com os números, assim como Deus joga?

Para Riemann, há uma grande orquestra em andamento no domínio desses números. Isso significa que, muito possivelmente, há uma ordem implícita na aparente caótica sequência dos primos. Riemann encontrou em uma função particular chamada de função zeta (uma função com valores imaginários e reais, veja abaixo), escrita inicialmente por Euler, a chave que levaria aos segredos dos números primos. Essa função gera uma paisagem imaginária interessante em que os pontos ao nível do mar (ou seja, em y=0) são espaçados de forma harmônica e alinhados ao longo de uma reta. E esses pontos poderiam ser correlacionados com os primos.

Função Zeta de Riemann

Função Zeta de Riemann

Daí veio a formulação da hipótese de Riemann: todos os pontos ao nível do mar se encontram nessa linha, chamada de linha crítica da função zeta. E a prova da hipótese é provar que absolutamente TODOS os pontos estão nessa linha. Se for encontrado um ponto fora dessa linha, a hipótese será considerada falsa.
Bom, então, quem conseguir provar essa hipótese ganha um milhão de dólares do Instituto Clay de Matemática e a imortalidade matemática. Se verdadeira, explicaria bem porque que não há um padrão forte na sequência dos primos.

Qual seria a utilidade prática da teoria dos números? Está bem na sua frente, na Internet. Os números primos são essenciais para os algoritmos de criptografia usados nos protocolos seguros da rede, já que as chaves públicas são o resultado de um produto entre dois números primos grandes. E fatorar um produto desses é tarefa inviável computacionalmente para os computadores atuais (mas não para os futuros computadores quânticos, eu creio…).

É fato sabido de que a Natureza tem predileção por certos tipos de números, como o fato de o número de pétalas de uma flor ser sempre um número da sequência de Fibonacci. No livro, é descrito que o ciclo de vida de um certo inseto é sempre um número primo, para poder escapar de um predador. Grande parte de suas vidas é gasta na forma larval e só emerge depois de 13 ou 17 anos. E após sua saída dos casulos, morrem algumas semanas depois. Acredita-se que esses intervalos entre essas emergências dificultam a ação dos predadores.

Se interessou? Vai lá dar uma olhada no livro 🙂 A linguagem é acessível para os leigos, mas deve ser uma leitura lenta e atenta.

Para saber mais e explorar um pouco esse ramo da fauna matemática, dê uma olhada nas referências abaixo. 😀

Referências e informações adicionais:

The Prime Pages – Site com informações e um banco de dados dos maiores números primos conhecidos
Prime Conjectures and Open Questions – Uma lista de algumas conjecturas na teoria dos números
The prime number lottery – Parte 1 do resumo do livro
The music of the primes – Parte 2 do resumo do livro
Prime number – Artigo da Wikipedia
Riemann Hypothesis – Site do Clay Institute

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Sobre giseli

Eu: Engenheira, sedenta por bits e chocólatra assumida. Além de ser fã de IAs, principalmente Wintermute e HAL9000
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9 respostas para A hipótese de Riemann

  1. Danilo Egêa disse:

    Show esse post.

  2. Gostei do artigo, Giseli. Só fiquei um pouco preocupado com a menção a computadores quânticos, porque a aura de mistério ao redor deles faz com que pareçam mais úteis e poderosos do que são (ou poderiam ser) mesmo.

    O erro mais comum é achar que um computador quântico resolve um problema NP-completo em tempo polinomial, o que não é verdade.

    (perdoem-me o dupe)

    http://scottaaronson.com/blog/?p=198
    Q: But couldn’t quantum computers try all possible solutions in parallel, and thereby solve NP-complete problems in a heartbeat?

    A: Yes, if the heart in question was beating exponentially slowly.

    Otherwise, no. Contrary to widespread misconception, a quantum computer could not “try all possible solutions in parallel” in the sense most people mean by this. In particular, while quantum computers would apparently provide dramatic speedups for a few “structured” problems (such as factoring integers and simulating physical systems), it’s conjectured that they couldn’t solve NP-complete problems in polynomial time.

    Q: But isn’t factoring an NP-complete problem?

    A: Good heavens, no! While factoring is believed to be intractable for classical computers, it’s not NP-complete, unless some exceedingly unlikely things happen in complexity theory. Where did you get the idea that factoring was NP-complete? (Now I know how Richard Dawkins must feel when someone asks him to explain, again, how “life could have arisen by chance.”)

    Outro engano é achar que um computador quântico tornaria todas as técnicas de criptografia inúteis:

    Several groups are working on designing and building a quantum computer, which is fundamentally different from a classical computer. If one were built — and we’re talking science fiction here — then it could factor numbers and solve discrete-logarithm problems very quickly. In other words, it could break all of our commonly used public-key algorithms. For symmetric cryptography it’s not that dire: A quantum computer would effectively halve the key length, so that a 256-bit key would be only as secure as a 128-bit key today. Pretty serious stuff, but years away from being practical.

    http://www.schneier.com/blog/archives/2009/09/quantum_compute.html

  3. Eduardo Alli disse:

    Bom esta mais fácil provar Riemann do que entender o novo método de atribuiçao de aulas do Estado de SP rs .
    Parabéns pelo post .

  4. Cícero Rodrigues disse:

    acredite a alguns dias eu também tenho despertado interesse pelo assunto em questão.

  5. Leonardo Rodrigues Reis disse:

    Olá Gisele, adorei o artigo, vou ler o livro =) Boa noite, abraços, Leo

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